전기기사 강의 4: R-L-C 직렬 공진 — f₀ = 1/(2π√LC)

전 시간(강의 3)에는 전자기유도에서 코일의 인덕턴스 L을 다뤘다. 코일은 교류에서 저항처럼 보이는 리액턴스 X_L = ωL을 만들고, 주파수가 높을수록 그 값이 커진다. 이번 시간에는 축전기(강의 2)와 코일을 같은 교류 회로에 직렬로 연결했을 때 일어나는 공진 현상을 다룬다. 공진은 시험에서 공식과 숫자로 직접 묻는 단골 출제 구간이다.

 

리액턴스 두 개, 방향이 반대다

 

교류에서 코일의 리액턴스는 X_L = ωL = 2πfL이다. 주파수 f가 커지면 X_L도 커진다. 축전기의 리액턴스는 X_C = 1/(ωC) = 1/(2πfC)이다. 주파수 f가 커지면 X_C는 작아진다. 이 둘이 직렬로 있으면 전체 임피던스는 Z = R + j(X_L − X_C)가 된다. 허수부의 부호는 X_L이 위상 +90°, X_C가 위상 −90°를 만들기 때문이다. 크기는 |Z| = √(R² + (X_L − X_C)²)이다.

 

공진 조건은 X_L = X_C 하나뿐이다

 

(X_L − X_C) = 0이 되면 |Z|는 최소값 R이 된다. 이 조건이 공진이다. X_L = X_C에 식을 대입한다. ω₀L = 1/(ω₀C). 양변을 정리하면 ω₀² = 1/(LC), 즉 ω₀ = 1/√(LC)이다. 주파수로 바꾸면 f₀ = 1/(2π√(LC))이다. 나는 이 식을 통째로 외우지 않는다. 시험장에서 "X_L = X_C" 한 줄에서 다시 풀어내는 습관을 들였다. 유도 과정 자체가 두 줄이면 끝나기 때문이다.

 

공진이 되면 전류가 최대가 된다

 

공진에서 |Z| = R이므로 회로 전류는 I₀ = V/R로 최대가 된다. 전압과 전류의 위상차도 0이 된다. 역률이 1이 된다는 뜻이다. 여기서 시험이 좋아하는 함정이 나온다. "직렬공진에서 확대되는 것은 무엇인가?" 답은 전압이다. 코일과 축전기 양단의 전압은 각각 V_L = I₀·X_L, V_C = I₀·X_C이고, 공진 조건 X_L = X_C에서 두 값은 같다. 인가 전압 V보다 크다. 그 배율이 Q값이다.

 

Q값 = 전압 확대율

 

Q = ω₀L / R이다. 식을 변형하면 Q = (1/R)√(L/C) = 1/(ω₀CR)가 된다. Q의 물리적 의미는 저장 에너지와 한 주기 소모 에너지의 비율이다. 시험에서는 "전압 확대율"로 기억하는 편이 빠르다. V_L = V_C = Q·V이다. 숫자 예시를 보자. R = 10Ω, L = 100mH, C = 1μF인 직렬 회로에서 공진주파수를 구한다. f₀ = 1/(2π√(0.1 × 10⁻⁶)) ≈ 503Hz이다. ω₀ = 2πf₀ ≈ 3162rad/s이므로 Q = ω₀L/R = 316.2/10 ≈ 31.6이다. 100V를 인가하면 코일과 축전기 양단에는 약 3160V가 걸린다. 실제 회로에서 공진이 위험한 이유가 바로 이 전압 확대다.

 

특성임피던스와 대역폭

 

Q를 구할 때 등장한 √(L/C)를 특성임피던스라고 부른다. Z₀ = √(L/C)이다. 병렬공진에서는 이 값이 최대 임피던스가 된다. 병렬공진은 어드미턴스 Y = G + j(ωC − 1/(ωL))에서 허수부가 0이 되는 조건이다. 공진주파수 식은 직렬과 동일하게 f₀ = 1/(2π√(LC))이다. 병렬공진에서 확대되는 것은 전류다. I_L = I_C = Q·I가 된다. 직렬은 전압 확대, 병렬은 전류 확대. 이 대비 하나만 기억해도 관련 문제를 절반은 푼다.

 

대역폭도 자주 묻는다. BW = f₀/Q이다. Q가 클수록 공진은 날카로워지고 대역폭은 좁아진다. 선택도(selectivity)가 높아진다는 표현과 같은 뜻이다. 라디오 채널을 고를 때는 Q가 높은 회로가 유리하고, 전력 계통에서는 특정 고조파에 공진이 걸리지 않게 관리한다.

 

시험장에서 바로 쓰는 정리

 

시험에서 공진 문제는 세 가지 형태로 나온다. 공진주파수 계산, Q값 계산, 그리고 "공진 시 회로의 상태"를 묻는 서술형이다. 서술형 정답의 핵심은 두 문장이다. 임피던스가 최소(R)가 되어 전류가 최대가 된다. 전압과 전류가 동상이 되어 역률이 1이 된다. 이 두 문장에 f₀와 Q 식을 붙이면 만점 답안이다. 전력공학 파트로 넘어가면 역률 개선용 콘덴서를 병렬로 다는 이유가 바로 이 공진의 역방향 응용이다. 용량성 리액턴스로 유도성분을 상쇄한다는 발상 자체는 여기서 배운 X_L = X_C와 같다.