전기기사 강의 18: 라우스-후르비츠 안정 판별법 — 특성방정식만으로 안정성 판단하기

제어계가 안정하려면 특성방정식의 모든 근이 s평면의 좌반평면에 있어야 한다.

근의 실수부가 0보다 작으면 시간이 지날수록 응답이 수렴하고, 실수부가 0보다 크면 발산한다.

라우스-후르비츠 판별법은 근을 직접 구하지 않고 특성방정식의 계수만으로 안정성을 판단하는 방법이다.

전기기사 필기 제어공학에서 매년 출제되는 단골 유형이다.

특성방정식은 a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + ... + a_1 s + a_0 = 0 형태이다.

안정의 필요조건은 모든 계수가 0보다 크고 부호가 같은 것이다.

계수 중 하나라도 0이거나 부호가 다르면 그 계는 불안정하다.

필요조건을 만족해도 충분조건은 아니다.

충분조건 확인이 라우스 표의 역할이다.

라우스 표는 s^n 행과 s^{n-1} 행에 계수를 교대로 배치하는 것부터 시작한다.

s^n 행에는 a_n, a_{n-2}, a_{n-4}를 차례로 쓴다.

s^{n-1} 행에는 a_{n-1}, a_{n-3}, a_{n-5}를 차례로 쓴다.

아래 행의 첫 원소는 b_1 = (a_{n-1} × a_{n-2} − a_n × a_{n-3}) / a_{n-1} 로 계산한다.

같은 방식으로 b_2, b_3을 구하고 다음 행도 반복한다.

s^0 행까지 표를 완성한다.

판별 기준은 첫 번째 열의 부호 변화 횟수이다.

부호 변화 횟수가 양의 실수부를 가진 근의 개수와 같다.

부호 변화가 0회면 계는 안정하다.

부호 변화가 1회 이상이면 그 개수만큼 불안정한 근이 존재한다.

계산 예시를 하나 풀어보자.

특성방정식 s^3 + 6s^2 + 11s + 6 = 0 을 판별한다.

s^3 행은 1, 11이다.

s^2 행은 6, 6이다.

s^1 행 첫 원소는 (6 × 11 − 1 × 6) / 6 = 10이다.

s^0 행은 6이다.

첫 번째 열은 1, 6, 10, 6으로 모두 양수이다.

부호 변화가 0회이므로 이 계는 안정하다.

실제로 근은 −1, −2, −3으로 모두 좌반평면에 있다.

불안정한 경우도 확인해보자.

특성방정식 s^3 + 2s^2 + 3s + 10 = 0 을 판별한다.

s^3 행은 1, 3이다.

s^2 행은 2, 10이다.

s^1 행 첫 원소는 (2 × 3 − 1 × 10) / 2 = −2이다.

s^0 행은 10이다.

첫 번째 열은 1, 2, −2, 10이다.

부호가 양에서 음으로 한 번, 음에서 양으로 한 번 바뀐다.

부호 변화가 2회이므로 양의 실수부를 가진 근이 2개 존재하고 계는 불안정하다.

시험에는 이득 K의 안정 범위를 묻는 문제도 자주 나온다.

특성방정식 s^3 + 3Ks^2 + (K + 2)s + 4 = 0 에서 안정한 K의 범위를 구한다.

s^3 행은 1, K + 2이다.

s^2 행은 3K, 4이다.

s^1 행 첫 원소는 (3K × (K + 2) − 4) / 3K 이다.

안정 조건은 첫 번째 열이 모두 양수인 것이다.

3K > 0 이므로 K > 0 이다.

3K(K + 2) − 4 > 0 도 만족해야 한다.

3K^2 + 6K − 4 > 0 을 풀면 K > 0.527 이다.

두 조건을 합치면 안정 범위는 K > 0.527 이다.

특수한 경우 두 가지는 따로 외워두자.

첫 번째 열의 원소가 0이 되면 나눗셈이 불가능해진다.

이때는 0을 작은 양수 ε로 치환하고 표를 완성한 뒤 ε → 0 극한으로 부호를 판단한다.

한 행이 모두 0이 되면 그 위 행의 계수로 보조방정식을 만든다.

보조방정식을 s에 대해 미분한 계수로 0인 행을 대체하고 표를 이어간다.

보조방정식의 근은 허수축 위에 대칭으로 존재한다.

2차 계에서는 라우스 표를 그릴 필요가 없다.

계수가 모두 양수이면 2차 계는 항상 안정하다.

3차 이상부터 표를 그린다.

나는 처음 라우스 표를 배울 때 b_1 계산에서 분자와 분모를 헷갈려 안정인 계를 불안정으로 판정한 적이 있다.

분자는 윗행 두 수의 곱에서 아랫행 두 수의 곱을 뺀 값이고, 분모는 윗행 첫 원소라는 점만 기억하면 실수가 줄어든다.

시험장에서는 표를 끝까지 다 그리지 말고 첫 번째 열만 정확히 채우는 습관을 들이자.

첫 번째 열의 부호만 보면 판별이 끝나기 때문이다.