전기기사 강의 19: RL·RC 회로의 과도현상 — 시정수 τ가 결정하는 충전·방전

스위치를 켜는 순간 회로는 바로 정상상태에 도달하지 않는다.

인덕터는 전류의 급변을 막고, 커패시터는 전압의 급변을 막는다.

이 과도 구간을 지배하는 값이 시정수 τ이다.

τ가 길면 느리게, τ가 짧으면 빠르게 정상상태에 다가간다.

이 글은 RL 회로와 RC 회로의 과도현상을 식과 숫자로 정리한다.

 

인덕터의 전류는 순간적으로 변하지 않는다.

스위치를 닫기 직전 전류가 0이었다면, 닫는 순간에도 전류는 0이다.

인덕터는 전류가 변하려 할 때 자기 유도로 역기전력을 만들어 변화를 방해한다.

그래서 전류는 지수함수 곡선을 그리며 천천히 최종값에 다가간다.

 

RL 직렬 회로에 직류 전압 E를 인가하면 전류는 i(t) = (E/R)(1 − e^(−t/τ))로 흐른다.

τ는 시정수이고, RL 회로에서는 τ = L/R이다.

t = τ가 되면 전류는 최종값의 63.2%에 도달한다.

t = 5τ가 되면 99.3%에 도달하고, 실무에서는 이때를 정상상태로 본다.

인덕터 양단 전압은 v_L(t) = E·e^(−t/τ)로 시작 순간 E에서 0으로 지수 감소한다.

 

숫자로 확인한다.

E = 12V, R = 6Ω, L = 0.3H인 RL 회로를 본다.

최종 전류는 E/R = 2A이다.

τ = L/R = 0.3/6 = 0.05초, 즉 50ms이다.

t = 0.05초에 전류는 2 × 0.632 = 1.264A이다.

t = 0.25초(5τ)에 전류는 1.986A로 사실상 최종값이다.

R이 크면 τ가 줄고, L이 크면 τ가 늘어난다.

R을 12Ω으로 바꾸면 τ는 25ms가 되고 같은 시간에 더 빨리 수렴한다.

 

커패시터의 전압도 순간적으로 변하지 않는다.

방전된 커패시터에 전압을 걸면 처음에는 단락처럼 동작해 큰 충전 전류가 흐른다.

충전이 진행될수록 커패시터 전압이 올라가고 충전 전류는 줄어든다.

이 곡선도 지수함수이고, 시정수가 속도를 정한다.

 

RC 직렬 회로의 충전 전압은 v_C(t) = E(1 − e^(−t/τ))이다.

RC 회로의 시정수는 τ = RC이다.

충전 전류는 i(t) = (E/R)·e^(−t/τ)로 시작 순간 최대이고 0으로 감소한다.

t = τ에서 커패시터 전압은 E의 63.2%, t = 5τ에서 99.3%이다.

방전은 전원을 제거하고 저항만으로 전하를 빼는 과정이다.

방전 전압은 v_C(t) = V0·e^(−t/τ), 방전 전류는 i(t) = −(V0/R)·e^(−t/τ)이다.

 

RC 예시도 숫자로 확인한다.

E = 10V, R = 100kΩ, C = 10μF인 RC 회로를 본다.

τ = RC = 100,000 × 10×10⁻⁶ = 1초이다.

t = 1초에 커패시터 전압은 6.32V이다.

t = 5초에 9.93V로 사실상 충전이 끝난다.

초기 충전 전류는 E/R = 10/100,000 = 0.1mA이다.

C를 100μF로 키우면 τ는 10초가 되고, 같은 전압에 도달하는 데 10배가 걸린다.

저항을 줄이면 충전 전류는 커지지만 τ도 짧아진다.

 

RL 회로의 전류 방전도 같은 형태이다.

전원을 끊으면 인덕터에 저장된 자기 에너지가 저항에서 소모된다.

전류는 i(t) = I0·e^(−t/τ)로 감소하고, τ는 충전과 같은 L/R이다.

인덕터 전압은 v_L(t) = −I0·R·e^(−t/τ)로 음의 방향으로 나타난다.

스위치를 열 때 인덕터 전압이 크게 튀는 이유가 이 식이다.

인덕터 전류가 갑자기 끊기면 di/dt가 커져 역기전력이 커진다.

실기에서 접점 아크나 서지 전압 문제로 출제되는 배경이다.

 

시험에 자주 나오는 포인트를 정리한다.

τ = L/R와 τ = RC를 외우는 것으로 끝나면 안 된다.

t = τ일 때 63.2%, t = 5τ일 때 99.3%라는 두 숫자를 손에 익힌다.

전류의 과도현상은 인덕터, 전압의 과도현상은 커패시터에서 묻는다.

충전 곡선은 (1 − e^(−t/τ)), 방전 곡선은 e^(−t/τ)이다.

초기 조건이 0이 아닐 때는 i(t) = i(∞) + (i(0) − i(∞))·e^(−t/τ) 형태를 쓴다.

이 식 하나로 충전·방전을 모두 풀 수 있다.

과도현상의 에너지 관점도 함께 묻는다.

인덕터 저장 에너지는 (1/2)LI², 커패시터 저장 에너지는 (1/2)CV²이다.

방전 시 이 에너지가 저항에서 열로 전부 소모된다.

 

나는 과도현상을 처음 배울 때 τ의 의미만 외우고 곡선을 그리지 못했다.

숫자를 넣어서 직접 계산해 보니 63.2%와 5τ가 손에 잡혔다.

계산 문제는 τ를 먼저 구하고, 묻는 시각이 τ의 몇 배인지부터 따지는 습관이 답을 빠르게 만든다.