전기기사 강의 20: 근궤적법 — 게인 K가 커지면 극점은 어디로 이동하는가

근궤적은 게인 K를 0에서 무한대까지 바꿀 때 폐루프 극점이 복소평면에서 그리는 궤적이다. 개루프 전달함수 KG(s)에 대해 폐루프 특성방정식은 1 + KG(s) = 0이다. K가 바뀌면 극점 위치가 바뀌고, 그 이동 경로를 미리 알면 안정 범위와 과도응답을 한 번에 판단할 수 있다.

출발점과 도착점은 정해져 있다. K = 0일 때 폐루프 극점은 개루프 극점과 같고, K가 무한대가 되면 극점은 개루프 영점으로 가거나 무한대로 간다. 극점 개수 n개, 영점 개수 m개일 때 무한대로 가는 가지는 n − m개다. 이 규칙만 알아도 궤적의 큰 그림은 잡힌다.

점근선은 무한대로 가는 가지가 다가가는 직선이다. 점근선 개수는 n − m개이고, 실수축과의 교차점은 σa = (개루프 극점 합 − 개루프 영점 합)/(n − m)이다. 각도는 (2q + 1) × 180°/(n − m)이고 q는 0, 1, 2…다. 나는 이 식을 외울 때 분모가 n − m이라는 점만 기억한다. 나머지는 대입하면 된다.

실수축 위에 궤적이 존재하는 구간도 바로 판단할 수 있다. 실수축 위의 한 점에서 오른쪽에 있는 극점과 영점의 개수를 합친 값이 홀수면 그 구간에 궤적이 있다. 짝수면 없다. 이 판정법은 계산 없이 그릴 수 있어 시험장에서 시간을 크게 아껴준다.

이탈점과 합류점은 궤적이 실수축을 떠나는 지점과 다시 들어오는 지점이다. 특성방정식에서 K를 s의 함수로 풀어 dK/ds = 0을 풀면 구한다. 이탈점에서는 K가 극댓값, 합류점에서는 K가 극솟값을 가진다. 이 지점을 모르면 궤적 모양을 정확히 그릴 수 없다.

계산 예시를 보자. G(s) = K/[s(s+2)(s+4)]인 경우를 생각한다. 개루프 극점은 0, −2, −4이고 영점은 없다. 점근선은 3개, 각도는 60°, 180°, 300°이며 교차점은 σa = (0 − 2 − 4)/3 = −2다. 실수축 위 궤적 구간은 0에서 −2 사이와 −4보다 왼쪽이다.

특성방정식은 s³ + 6s² + 8s + K = 0이다. K = −s(s+2)(s+4)이므로 dK/ds = −(3s² + 12s + 8) = 0을 풀면 s = −0.845와 s = −3.155가 나온다. 0과 −2 사이의 이탈점은 s = −0.845이고, 이때 K ≈ 3.08이다. s = −3.155에서는 K가 음수가 되므로 K > 0인 근궤적에는 나타나지 않는다.

안정 범위는 허수축 교차점에서 구한다. s = jω를 대입하면 실수부 조건 K − 6ω² = 0, 허수부 조건 −ω³ + 8ω = 0이 나온다. ω = √8 ≈ 2.83 rad/s이고 K = 6 × 8 = 48이다. 따라서 이 시스템은 0 < K < 48일 때 안정하고, K = 48에서 진동 주파수 약 2.83 rad/s로 발진 경계에 선다. K가 48을 넘으면 극점이 우반평면으로 넘어가 불안정해진다.

2차계로 감을 잡으면 더 쉽다. G(s) = K/[s(s+2)]에서는 점근선이 2개(±90°), 교차점 σa = −1, 이탈점 s = −1, 이탈 시 K = 1이다. K가 1을 넘으면 극점은 복소수가 되어 −1 ± j√(K−1)로 이동한다. 실수축을 떠난 극점은 다시 돌아오지 않고 허수축에 평행하게 위아래로 퍼진다. 실수 극점이 복소 극점으로 바뀌는 지점이 곧 과도응답이 진동성으로 바뀌는 지점이다.

시험에 나올 때는 세 가지를 순서대로 묻는다. 점근선의 개수·각도·교차점, 실수축 궤적 구간, 이탈점과 허수축 교차 K값이다. 이 세 가지만 손으로 그려봐도 3차계까지는 충분히 답이 나온다. 나는 근궤적을 처음 공부할 때 그래프를 외우려다 헤맸는데, 출발점·점근선·이탈점·허수축 교차라는 순서만 정해두고 대입하니 그제야 문제가 풀렸다.