전기기사 강의 10: 전달함수와 블록선도 — G(s) = Y(s)/X(s)로 제어계를 읽는 법

제어공학에서 시스템은 입력과 출력의 관계로 본다. 전달함수는 출력의 라플라스 변환을 입력의 라플라스 변환으로 나눈 값이다. 식은 G(s) = Y(s)/X(s)이다. 초기조건은 0으로 둔다. 전달함수만 알면 입력이 들어왔을 때 출력이 어떻게 변하는지 계산할 수 있다.

 

가장 기본은 1차 지연 요소다. 전달함수는 G(s) = K/(Ts+1)이다. K는 정상 이득, T는 시정수다. 계단 입력이 들어가면 출력은 지수 함수로 목표값에 다가간다. 식은 y(t) = K(1 − e^(−t/T))이다. t = T에서 출력은 최종값의 63.2%에 도달한다. t = 4T가 되면 98.2%에 도달한다. 시험에서는 시정수 T를 묻는 문제가 단골이다.

 

계산 예시를 하나 직접 풀어본다. K = 2, T = 0.5초인 1차 지연계에 크기 5인 계단 입력이 들어간다고 하자. 최종 출력값은 2 × 5 = 10이다. 0.5초 뒤 출력은 10 × 0.632 = 6.32이다. 2초 뒤 출력은 10 × 0.982 = 9.82이다. 시정수가 작을수록 응답이 빠르다.

 

블록선도는 요소를 상자로, 신호를 화살표로 그린다. 직렬 연결은 전달함수의 곱이다. G1(s)G2(s)가 된다. 병렬 연결은 합이다. G1(s) + G2(s)가 된다. 피드백이 있으면 분모가 생긴다. 단위 피드백에서 전체 전달함수는 G(s)/(1 + G(s))이다. 부호가 마이너스면 음의 피드백, 플러스면 양의 피드백이다.

 

피드백 계산 예시를 풀어본다. 전향 전달함수 G(s) = 10/(s+1), 단위 음의 피드백이라고 하자. 전체 전달함수는 10/(s+11)이다. 분모가 s+11이 되면서 극점이 왼쪽으로 이동한다. 시정수는 1/11초, 약 0.091초가 된다. 피드백이 응답을 빠르게 만든 셈이다. 정상 이득은 10/11, 약 0.909이다. 피드백은 속도를 올리지만 정상 이득은 낮춘다.

 

안정 판별은 특성방정식에서 본다. 특성방정식은 1 + G(s)H(s) = 0이다. 근이 모두 s평면 왼쪽에 있으면 안정하다. 오른쪽에 근이 하나라도 있으면 발산한다. 라우스-후르비츠 판별법은 근을 직접 구하지 않고 안정 여부를 판정하는 도구다. 2차 계 s² + as + b = 0에서는 a > 0, b > 0이면 안정이다.

 

2차 계의 계단 응답은 감쇠비 ζ로 갈린다. ζ > 1이면 과감쇠, ζ = 1이면 임계감쇠, 0 < ζ < 1이면 부족감쇠다. 부족감쇠에서는 오버슈트가 생긴다. 오버슈트 식은 Mp = e^(−πζ/√(1−ζ²)) × 100%이다. ζ = 0.5면 오버슈트는 약 16.3%다. 시험에서는 ζ와 고유주파수 ωn을 구해 응답 형태를 묻는다.

 

나는 제어공학을 회로이론과 같은 틀로 보면 편하다고 느꼈다. 전달함수는 임피던스처럼 입출력 관계를 한 식으로 묶는다. 블록선도는 회로도처럼 연결 규칙만 알면 전체를 계산할 수 있다. 시험에 바로 쓰는 정리이다. 전달함수 정의, 1차 지연 63.2%, 직렬 곱·병렬 합·피드백 분모, 2차 계 안정 조건 a > 0·b > 0, 오버슈트 식이다. 이 다섯 가지를 잡으면 제어공학 기본 문제는 풀린다.