전기기사 강의 23: 보드 선도로 안정 여유 읽기 — 게인 여유와 위상 여유

보드 선도는 주파수 응답을 로그 스케일로 그린 그래프다. 가로축은 각주파수 ω의 로그, 세로축은 게인 dB와 위상 도다. 개루프 전달함수 G(jω)H(jω)의 크기와 위상을 주파수별로 표시한다.

 

게인은 20log|G(jω)H(jω)|로 계산한다. 1차 지연 요소 1/(1+jωT)의 게인은 -20log√(1+(ωT)²)이다. 꺾이는 주파수 ω = 1/T에서 기울기가 -20dB/dec으로 꺾인다. 적분 요소 1/s는 모든 주파수에서 -20dB/dec 기울기이고 위상은 -90도다. 미분 요소 s는 +20dB/dec 기울기이고 위상은 +90도다. 2차 요소는 꺾이는 주파수에서 -40dB/dec으로 꺾인다.

 

위상은 각 요소 위상의 합이다. 1차 지연 요소의 위상은 -tan⁻¹(ωT)이다. ω = 1/T에서 위상은 -45도다. ω가 10배 커지면 위상은 -84.3도에 가깝다. 적분 요소는 -90도 고정, 미분 요소는 +90도 고정이다.

 

게인 교차주파수 ωgc는 게인이 0dB가 되는 주파수다. 위상 교차주파수 ωpc는 위상이 -180도가 되는 주파수다. 위상 여유 PM은 ωgc에서의 위상에 180도를 더한 값이다. PM = 180° + ∠G(jωgc)H(jωgc). 게인 여유 GM은 ωpc에서의 게인 크기를 dB로 잰 값의 음수다. GM = -20log|G(jωpc)H(jωpc)|. 시스템이 안정하려면 PM이 0보다 크고 GM이 0보다 커야 한다. PM이 30~60도, GM이 6dB 이상이면 실무에서 여유 있는 설계로 본다.

 

계산 예시를 보자. 개루프 전달함수가 G(s) = 10/[s(s+1)]인 경우를 계산한다. 게인 교차주파수를 구한다. |G(jω)| = 10/[ω√(1+ω²)] = 1을 풀면 ω√(1+ω²) = 10이다. ω² = x로 두면 x(1+x) = 100, x² + x - 100 = 0에서 x ≈ 9.51, ωgc ≈ 3.08 rad/s이다. 위상은 ∠G(jω) = -90° - tan⁻¹(ω)이다. ω = 3.08에서 tan⁻¹(3.08) ≈ 72°, 위상은 -162°이다. 위상 여유는 180 - 162 = 18°이다. 게인 여유를 구한다. 위상 -180도가 되려면 tan⁻¹(ω) = 90°가 필요하고, 이는 ω가 무한대로 갈 때만 가능하다. 위상 교차주파수가 없으므로 게인 여유는 무한대다. PM 18°는 안정은 하지만 여유가 작다. 게인을 낮추거나 위상 보상기를 넣으면 여유가 커진다.

 

또 다른 예시를 보자. G(s) = 12/[s(s+2)(s+4)]에서 K = 12인 경우를 계산한다. 게인 교차주파수는 |G(jω)| = 12/[ω√(ω²+4)√(ω²+16)] = 1에서 찾는다. ω = 1.5를 넣으면 분모는 1.5 × 2.5 × 4.27 ≈ 16.02, 게인은 12/16.02 = 0.75(-2.5dB)이다. ω = 1.3을 넣으면 분모는 1.3 × 2.39 × 4.21 ≈ 13.04, 게인은 0.92(-0.72dB)이다. ωgc ≈ 1.22 rad/s이다. 위상은 -90° - tan⁻¹(ω/2) - tan⁻¹(ω/4)이다. ω = 1.22에서 tan⁻¹(0.61) ≈ 31.4°, tan⁻¹(0.305) ≈ 17.0°, 위상은 -138.4°이다. 위상 여유는 180 - 138.4 = 41.6°이다. 위상 교차주파수는 -90 - tan⁻¹(ω/2) - tan⁻¹(ω/4) = -180에서 찾는다. tan⁻¹(ω/2) + tan⁻¹(ω/4) = 90°가 되는 ω는 ω = √8 ≈ 2.83 rad/s이다. 이때 |G(jω)| = 12/[2.83 × √12 × √24] = 12/48 = 0.25, -12.04dB이다. 게인 여유는 12.04dB이다. PM 41.6°, GM 12.04dB이므로 안정하고 여유도 충분하다. 이 값은 강의 20 근궤적 예시와 같은 시스템이다. 근궤적에서 안정 범위가 0 < K < 48이었던 것과 같은 맥락이다. K = 48이면 게인 여유가 0dB가 된다.

 

시험에 자주 나오는 포인트를 정리한다. 보드 선도의 게인 기울기는 -20dB/dec 단위로 바뀐다. 1차 지연 하나당 -20dB/dec, 2차 요소는 -40dB/dec이다. 위상은 주파수가 10배 오를 때마다 1차 지연이 0도에서 -90도로 이동한다. 게인 여유와 위상 여유가 둘 다 양수여야 안정이다. 하나라도 음수면 불안정이다. PM이 작으면 오버슈트가 크고 진동이 오래 간다. 시험 문제는 보통 게인 교차주파수와 위상 교차주파수 중 하나를 주고 다른 하나를 계산하게 한다. ωpc를 먼저 구하고 게인을 대입하는 순서가 계산이 빠르다.

 

나는 보드 선도를 처음 배울 때 그래프만 보고 외우려다 틀렸다. 각 요소를 dB 기울기와 위상으로 나눠서 더하는 연습을 하니 계산이 빨라졌다. 시험장에서 보드 선도가 나오면 요소부터 분리하고, 꺾이는 주파수부터 적는 습관을 들이면 실수가 줄어든다.